卜瓦松：计数型AI分析的万灵丹

人工智能和机器学习中使用到卜瓦松分布（Poisson Distribution）。在贝叶斯推论（Bayesian inference），机率分布经常被用来解决原本难以处理的问题。其中一个具体的应用是卜瓦松回归，这是一种专门用于建模计数数据的回归分析方法。例如，卜瓦松回归可用于估算与搭乘飞机相关的感冒次数，或预测某个事件期间的紧急服务呼叫次数。

卜瓦松回归是一种广义线性模型，其使用对数作为（典型）连结函数，并假设反应变量遵循卜瓦松分布作为其机率分布函数。卜瓦松分布提供简单而有效的数学框架，使得计数型AI分析变得更加精准和可解释。这个分布以发明者卜瓦松（Siméon Denis Poisson, 1781～1840）命名。我2015年参访巴黎的法兰西科学院（Académie des Sciences） 时，意外地看到卜瓦松的手稿。

卜瓦松出生于法国的皮蒂维耶，自幼展现出非凡的数学才能，迅速成为19世纪最具影响力的数学家之一。他在机率论和解析力学方面做出突破性贡献，在数学和物理学界留下深远影响。他的卓越才能、谦逊和对知识的奉献继续激励着数学家和科学家，改变我们对机率、数理物理和解析力学的理解。

1838年，他发表卜瓦松分布，这是一种适合描述单位时间内随机事件发生次数的机率分布。起初，卜瓦松分布并未有很多实际应用。波特凯维茨（Ladislaus Bortkiewicz, 1868～1931） 利用卜瓦松分布公式计算在20年的期间里，每年普鲁士军队每14名骑兵中被马踢死的人数。这是一个有趣的例子，但并非日常生活中适切的应用。

后来，科学家发现卜瓦松分布可以广泛用于描述随机离散事件的发生，在物理学、生物学和金融学等领域证明其实用性。例如，在分析电话网络的效能时，卜瓦松分布如同万灵丹。我在处理单位时间的通话次数时，总是先套用卜瓦松分布，事后验证，结果总是正确无误。

1798年，卜瓦松以第一名成绩考进巴黎综合理工学院，追随老师拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace） 的足迹，两人情同父子。卜瓦松和拉普拉斯合作促成开创性的研究论文和各自领域的进一步发展。卜瓦松往往能将拉普拉斯的研究成果加以扩展。例如，我在进行电话系统效能评估时，常会用到拉普拉斯方程序及卜瓦松方程序。

拉普拉斯方程序没有源项（source term），这意味着它是齐次的（homogeneous）。卜瓦松方程序有源项，这意味着拉普拉斯算子（Laplacian） 应用于一个标量值函数（scalar valued function） 时不一定为零。卜瓦松方程序本质上是拉普拉斯方程序的一种广义形式。

尽管拥有巨大的才华和成就，卜瓦松以其谦逊、低调和对工作的奉献着称。他保持谦逊，专注于知识的追求。卜瓦松的遗产超越他的数学和科学成就，对学习的热情和对知识追求的奉献激励着全世界有志于数学和科学的人。
 

人生只有两样美好的事情：发现数学和教数学。—卜瓦松

卜瓦松（Siméon Denis Poisson, 1781～1840）。