用立德公式分析COVID-19的散播速度

林一平／椽经阁

十年前，我们发明了一个公式，今日也能用来了解COVID-19 (新冠肺炎)的散布。

研究电信系统效能评估的最基础工具是耳朗公式(Erlang Formula)，此公式是由丹麦数学家耳朗 (Agner Krarup Erlang)所提出，应用于电话网络流量分析，以很简单的形式表示为：E = λh。

这个公式叙述如下: 一个电话系统单位时间内的负载E (Offered Traffic)相当于这个单位时间内打电话进系统的次数λ (Call Arrival Rate)乘上平均的通话时间h (Call Holding Time)。耳朗公式在1961年被美国凯斯西储大学(Case Western Reserve University)一位教授立德(John Dutton Conant Little)改写成一个通用于一般系统的公式。立德早期以运筹学(Operations Research) 来研究交通灯号控制(Traffic Signal Control)。1961年他推导出立德公式(Little’s Formula)后名声大噪，马上被聘为麻省理工学院的教授。立德公式的形式和耳朗公式一样简单: L = λW

这个公式说，如果我们长时间观察一个系统，会发现停留在此系统的人数L (average number of customers)等于人们进入此系统的速率λ (average effective arrival rate) 乘上一个人待在这个系统的平均时间W (average time a customer spends in the system)。该公式的应用广泛，尤其是在产品开发(Product Development)。立德公式甚至可用于日常生活。例如说，在高速公路上你看到前面一个路段有一大堆车(L很大) ，而能进入该路段的车辆数目越来越少(λ很小)，那你就知道得开很长时间才能通过这个路段(W很大)。如果你了解立德公式，你就边开车边骂: 「Darn it! I was stuck in this stupid Little today! 」然后打电话给另一半：「Honey!! I got littled」。

2011年我和和交通大学信息工程系的张明峰教授根据立德公式推导出一个移动电话的版本。图二绘出一个简略的移动电话系统，当中移动交换机连接基站。图中所画虚线圆圈代表基站发射的无线电波涵盖范围，称为「细胞」。图二中一部车子(内有手机)由「细胞1」进入「细胞2」。假设车内有人正在打电话，则穿越细胞时移动交换机会有纪录。假设E为单位时间内在细胞2所有人讲电话的分钟数，而单位时间内讲电话的人穿越细胞边界而进入细胞2的人数是μ，则平均一部车子停留在细胞2的时间W可表示为E = μW

以上公式和立德公式或耳朗公式极为相似，但是证明可花了一些力气呢。我们的公式用途相当广泛，由量测车速到分析传染病的散布，都用得上，发表于国际期刊。今日，我们也用此公式来了解COVID-19的散布。

简而言之，我们的公式能直接并实时算出人们(无论他们是否开车)待在一个细胞的时间W，而不会侵犯其隐私权。再经由手机换手(handover)到周围细胞的数目算出其移动到下一个细胞的机率。利用此机率，可经由马可夫模型(Markov Model)算出，由一个细胞到达线上细胞的路径，亦即沿途经过的细胞的机率。然后最关键的是，算出待在这些细胞的时间W。如此，我们便可回答，如果疫情嫌疑人发现在新竹，则病毒在六小时后传到台北的机率为何。