AI也难突破哥德尔不完备定理

哥德尔（Kurt Friedrich Gödel；1906～1978）在现代逻辑上的成就是独特而伟大的。事实上，哥德尔的成就不仅是一座学术纪念碑，更是长久屹立于学术历史中的地标。逻辑学科因为哥德尔的成就而彻底改变其本质与发展可能性。

在哥德尔的伟大成就中，他的不完备定理（Incompleteness Theorems）是数理逻辑中的基本结果，宣示形式系统的内在局限性，尤其是那些能够表达基本算术的系统。第一定理表明，任何足够强大且一致的形式系统都不可能完备，这意味着该系统内会有无法使用自身证明的真命题。第二定理进一步指出，没有一个系统能够证明自身的一致性。

大型语言模型（LLM），如GPT-4，可以协助数学定理的证明，但与传统方法相比，它们仍有明显的限制。这些模型可以提出想法、建议步骤或提供解释，这些都可能在证明构建过程中发挥作用。它们能处理某些符号运算并形式化某些证明，特别是那些遵循已知模式或来自数学文献中的证明。

然而，LLM无法从零开始进行复杂或新颖定理的深度推论，因为它们的回应基于数据模式，而非形式逻辑推导。

一些专门设计来证明定理的AI系统，如Coq、Lean和Isabelle，依赖严格的形式逻辑，并能生成完全角式化的证明，且这些证明可经过验证确保其正确性。相比之下，大型语言模型缺乏对逻辑和数学结构的形式理解。然而哥德尔的定理表明，某些真理无法由这些AI系统确立，且复杂系统的一致性无法从系统内部证明。

AI无法「打破」哥德尔定理，因为这些定理是逻辑学的基本结果。它们适用于任何具有一定复杂性的形式系统，并且已被证明无误。由于AI运行依赖形式逻辑，它同样受到哥德尔不完备定理的根本限制。

尽管AI无法打破哥德尔的定理，但它能帮助探讨这些定理的影响，模拟不同的逻辑系统，并研究这些限制在各类数学框架中的具体表现。然而，AI无法独立证明复杂或新颖的定理，也无法突破哥德尔不完备定理所设下的限制。

哥德尔说：「我只相信先验的真理。世界的意义在于愿望与事实的分离。数学要麽对人类心智而言过于庞大，要麽人类心智不仅仅是一部机器。事物本身与谈论事物之间是有区别的（I only believe in a priori truth. The meaning of world is the separation of wish and fact. Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine. There is a difference between a thing and talking about a thing.）

在AI的协助下，我们或许能够进一步探索数学的深邃领域，扩展人类心智的理解范围。

 

哥德尔（Kurt Friedrich Gödel；1906～1978）。